Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；

（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的对称轴x＝2，A（6，0）；（2）△ACD的面积为12；（3）点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．

【解析】

（1）令y=0，求出x，即可求出点A、B的坐标，令x＝0，求出y即可求出点C的坐标，再根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴；

（2）先将二次函数的一般式化成顶点式，即可求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点F的坐标，根据“铅垂高，水平宽”求面积即可；

（3）根据等腰三角形的底分类讨论，①过点O作OM⊥AC交DE于点P，交AC于点M，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质即可得出此时AC为等腰三角形ACP的底边，且△OEP为等腰直角三角形，从而求出点P坐标；②过点C作CP⊥DE于点P，求出PD，可得此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，从而求出点P坐标；③作AD的垂直平分线交DE于点P，根据垂直平分线的性质可得PD＝PA，设PD＝x，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出点P的坐标.

（1）对于抛物线y＝﹣x2+2x+6令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，

∴B（﹣2，0），A（6，0），

令x＝0，得到y＝6，

∴C（0，6），

∴抛物线的对称轴x＝﹣＝2，A（6，0）．

（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝，

∴抛物线的顶点坐标D（2，8），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

将A（6，0）和C（0，6）代入解析式，得

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，

将x=2代入y＝﹣x+6中，解得y=4

∴F（2，4），

∴DF＝4，

∴＝＝12；

（3）①如图1，过点O作OM⊥AC交DE于点P，交AC于点M，

∵A（6，0），C（0，6），

∴OA＝OC＝6，

∴CM＝AM，∠MOA=∠COA=45°

∴CP＝AP，△OEP为等腰直角三角形，

∴此时AC为等腰三角形ACP的底边，OE＝PE＝2．

∴P（2，2），

②如图2，过点C作CP⊥DE于点P，

∵OC＝6，DE＝8，

∴PD＝DE﹣PE＝2，

∴PD＝PC，

此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，

∴P（2，6），

③如图3，作AD的垂直平分线交DE于点P，

则PD＝PA，

设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE2+AE2＝PA2，

∴（8﹣x）2+42＝x2，

解得x＝5，

∴PE＝8﹣5=3，

∴P（2，3），

综上所述：点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．