Question

19．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求经过A、C两点的直线的解析式；
（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；
（3）根据S_△OAC=S_△AOB+S_梯形ABDC-S_△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．

解答 解：（1）∵AB=5-2=3cm，OB=2cm，
∴A的坐标是（2，3），
代入y=$\frac{k}{x}$得3=$\frac{k}{2}$，
解得：k=6；
（2）OD=2+2=4，
在y=$\frac{6}{x}$中令x=4，解得y=$\frac{3}{2}$．
则C的坐标是（4，$\frac{3}{2}$）．
设AC的解析式是y=mx+n，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=3}\\{4m+n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；
（3）直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•AB=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
直角△ODC中，OD=4，CD=$\frac{3}{2}$，则S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD•CD=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$=3．
在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD=$\frac{3}{2}$，则S_梯形ABDC=$\frac{1}{2}$（AB+DC）•BD=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{2}$）×2=$\frac{9}{2}$．
则S_△OAC=S_△AOB+S_梯形ABDC-S_△OCD=3+$\frac{9}{2}$-3=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，理解S_△OAC=S_△AOB+S_梯形ABDC-S_△OCD是解决本题的关键．