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【题目】如图1,已知直线y=﹣x+m与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点(点A在点B的左侧),分别与x、y轴交于点C、D,AEx轴于E.

(1)若OECE=12,求k的值.

(2)如图2,作BFy轴于F,求证:EFCD.

(3)在(1)(2)的条件下,EF=, AB=2,Px轴正半轴上的一点,且PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形,求P点的坐标.

【答案】(1)k=6;(2)详见解析;(3)P(3,0).

【解析】

(1)分别设出一次函数解析式和反比例函数的解析式,代入点A的坐标,即可得出各解析式.

(2)连接AF、BE,过E、F分别作FMAB,ENAB,得出FMEN,再根据AEx轴,BFy轴,得出AEBF,由此得出SAEF=SBEF最后证出FM=EN,得出四边形EFMN是矩形,由此证出EFCD;

(3)由(2)得出EF=AD=BCCD的值,再由直线解析式可得OD=m,OC=2m,得出OD=4,再根据EF∥CD,得出OF0E、DF的值,最后根据EF=,AB=2得出EP的值,即可求出P点的坐标.

(1)设OE=a,则A(a,﹣a+m),

∵点A在反比例函数图象上,∴a(﹣a+m)=k,即k=﹣a2+am,

由一次函数解析式可得C(2m,0),

CE=2m﹣a,

OE.CE=a(2m﹣a)=﹣a2+2am=12,

k=(﹣a2+2am)=×12=6;

(2)连接AF、BE,过E、F分别作FMAB,ENAB,

FMEN,

AEx轴,BFy轴,

AEBF,

SAEF=AEOE=

SBEF=BFOF=

SAEF=SBEF

FM=EN,

∴四边形EFMN是矩形,

EFCD;

(3)由(2)可知,EF=AD=BC=

CD=4

由直线解析式可得OD=m,OC=2m,

OD=4,

EFCD,

OE=2OF,

OF=1,0E=2,

DF=3,

AE=DF=3,

AB=2

AP=

EP=1,

P(3,0).

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2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.

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