【题目】如图1,已知直线y=﹣x+m与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点(点A在点B的左侧),分别与x、y轴交于点C、D,AE⊥x轴于E.
(1)若OECE=12,求k的值.
(2)如图2,作BF⊥y轴于F,求证:EF∥CD.
(3)在(1)(2)的条件下,EF=, AB=2,P是x轴正半轴上的一点,且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形,求P点的坐标.
【答案】(1)k=6;(2)详见解析;(3)P(3,0).
【解析】
(1)分别设出一次函数解析式和反比例函数的解析式,代入点A的坐标,即可得出各解析式.
(2)连接AF、BE,过E、F分别作FM⊥AB,EN⊥AB,得出FM∥EN,再根据AE⊥x轴,BF⊥y轴,得出AE⊥BF,由此得出S△AEF=S△BEF,最后证出FM=EN,得出四边形EFMN是矩形,由此证出EF∥CD;
(3)由(2)得出EF=AD=BC和CD的值,再由直线解析式可得OD=m,OC=2m,得出OD=4,再根据EF∥CD,得出OF和0E、DF的值,最后根据EF=,AB=2得出EP的值,即可求出P点的坐标.
(1)设OE=a,则A(a,﹣a+m),
∵点A在反比例函数图象上,∴a(﹣a+m)=k,即k=﹣a2+am,
由一次函数解析式可得C(2m,0),
∴CE=2m﹣a,
∴OE.CE=a(2m﹣a)=﹣a2+2am=12,
∴k=(﹣a2+2am)=×12=6;
(2)连接AF、BE,过E、F分别作FM⊥AB,EN⊥AB,
∴FM∥EN,
∵AE⊥x轴,BF⊥y轴,
∴AE⊥BF,
S△AEF=AEOE=,
S△BEF=BFOF=,
∴S△AEF=S△BEF,
∴FM=EN,
∴四边形EFMN是矩形,
∴EF∥CD;
(3)由(2)可知,EF=AD=BC=,
∴CD=4,
由直线解析式可得OD=m,OC=2m,
∴OD=4,
又EF∥CD,
∴OE=2OF,
∴OF=1,0E=2,
∴DF=3,
∴AE=DF=3,
∵AB=2,
∴AP=,
∴EP=1,
∴P(3,0).
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【题目】为进一步发展基础教育,自2016年以来,某县加大了教育经费的投入.2016年该县投入教育经费6000万元,2018年投入教育经费8640万元,假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.
(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;
(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算2019年该县教育经费多少万元?
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是上的一个动点,过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?请说明理由;
(2)当DP为⊙O的切线时,求线段DP的长.
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【题目】如图,一次函数 y=kx+b与反比例函数 y=(x>0)的图象交于A(m,6)B(3,n)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)
(1)画出△ABC关于原点对称的△A'B'C';
(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A″B″C″,并直接写出此过程中线段C'A'扫过图形的面积.(结果保留π)
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【题目】课本中有一道作业题:
有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm?
小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题.
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.
(1)求直线l的解析式;
(2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;
(3)取点G(0,﹣1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知:如图,点C是以AB为直径的⊙O上一点,直线AC与过B点的切线相交于D,点E是BD的中点,直线CE交直线AB于点F.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若ED=3,EF=5,求⊙O的半径.
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