Question

如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=3，求EM的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）如图，首先证明∠BAE=∠CEF，结合∠ABE=∠ECF=90°，即可解决问题．
（2）△ABH∽△ECM．首先证明∠ABH=∠ECM；运用∠BAH=∠CEM，即可解决问题．
（3）如图，作辅助线；证明△ABC∽△MRC，结合AB=BE=EC=3，证明∠AEB=45°，得到∠MER=45°，CR=2MR；求出MR=ER=1，即可解决问题．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°；
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．
（2）△ABH∽△ECM．证明如下：
证明：∵BG⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠ECM+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM；
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM．
（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，
则△ABC∽△MRC，而AB=BE=EC=3，
∴AB：BC=MR：RC=1：2，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR；
∵ER+RC=EC=3
∴MR=ER=1
∴EM=

12+12

=

2

．

点评：该题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握矩形的性质、相似三角形的判定及其性质，这是灵活运用解题的基础和工具．