Question

如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，王玲同学根据给定的条件写出了四个结论：①AP⊥BP；②点P到AD，BC的距离相等；③PD=PC；④AD+BC=AB，其中结论正确的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：由平行线的性质及角平分线定义得出∠DAB+∠ABC=180°，∠DAP=∠PAB，∠ABP=∠PBC，那么∠PAB+∠ABP=90°，AP⊥BP，判断结论①正确；
由AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，根据角平分线的性质得出点P到AD，AB，BC的距离相等，判断结论②正确；
延长AP，与BC的延长线交于点E．利用ASA证明△APB≌△EPB，得出AP=EP．再根据AAS证明△APD≌△EPC，得出PD=PC，AD=EC，判断结论③正确；
由BP是AE的垂直平分线，得出AB=BE，再根据BE=EC+BC，AD=EC，判断结论④正确．

解答：解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DAP=∠PAB，∠ABP=∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP=90°，
∴AP⊥BP，故结论①正确；
∵AP平分∠DAB，
∴点P到AD，AB的距离相等，
∵BP平分∠ABC，
∴点P到AB，BC的距离相等，
∴点P到AD，BC的距离相等，故结论②正确；
如图，延长AP，与BC的延长线交于点E．
在△APB和△EPB中，

∠APB=∠EPB=90° BP=BP ∠ABP=∠EBP

，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴AP=EP．
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECP，∠DAP=∠E．
在△APD和△EPC中，

∠D=∠ECP ∠DAP=∠E AP=EP

，
∴△APD≌△EPC（AAS），
∴PD=PC，AD=EC，故结论③正确；
∵AP=EP，BP⊥AE，
∴BP是AE的垂直平分线，
∴AB=BE，
∵BE=EC+BC，AD=EC，
∴AD+BC=AB，故结论④正确；
故选D．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，准确作出辅助线是解题的关键．