Question

【题目】如图，矩形ABCD的面积为15，边AB比AD大2，E为CD中点，以AE为直径的⊙F交AB于G点，以EG为直径的⊙H交EB于P点，回答下列问题：

（1）求AB、AD的长；

（2）求证：PG为⊙F的切线；

（3）求PG的长．

Answer 1

【答案】（1）AD＝3，AB＝5；（2）证明见解析；（3）PG＝．

【解析】

（1）根据矩形ABCD的面积和边AB比AD大2，列方程可求出；

（2）连接FG，通过中位线定理说明FG∥EB，再利用圆周角定理说明PG⊥EB，即可证明PG⊥FG；

（3）根据（1）（2）可得EG、BG的长，再求出BE的长，在直角△EBG中利用面积公式可得：BE×PG=EG×BG，即可解出PG.

解：（1）设AD＝，则AB＝＋2，

∴．

解得＝－5（舍去），＝3．

∴AD＝3，AB＝5．

（2）连接FG，

∵AE是⊙F的直径，且点G在⊙F上，

∴EG⊥AB．

又∵E为CD的中点，

∴G为AB的中点．

又∵F为AE的中点，

∴FG∥EB．

又∵EG是⊙H的直径，且点P在⊙H上，

∴PG⊥EB．

∴PG⊥FG．

又∵点G在⊙F上，

∴PG是⊙F的切线．

（3）由（1）（2）可知GE＝AD＝3，GB＝AB＝，GE⊥GB，PG⊥EB，

∴EB＝＝．

∴由Rt△BGE的面积公式可得PG＝．