Question

【题目】正方形中，将一个直角三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与边交于点（点不与点和点重合），另一条直角边与边的延长线交于点．

如图①，求证：；

如图②，此直角三角板有一个角是，它的斜边与边交于，且点是斜边的中点，连接，求证：；

在的条件下，如果，那么点是否一定是边的中点？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点不一定是边的中点．

【解析】

（1）由正方形的性质可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD，由直角三角形的性质∠EAF=∠BAD=90°，就可以得出∠BAE=∠DAF，证明△ABE≌△ADF就可以得出结论；

（2）如图2，连结AG，由且点G是斜边MN的中点，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45°，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，从而得出结论；

（3）设AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF﹣GF=k+x，由勾股定理就可以求出x的值而得出结论．

（1）如图①．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．

∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．

在△ABE和△ADF中，∵，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF；

（2）如图②，连接AG．

∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．

∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．

在△AGE和AGF中，∵，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．

∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF．

∵GF=GD+DF，∴GF= BE+DG，∴EG=BE+DG；

（3）G不一定是边CD的中点．理由如下：

设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x．在Rt△ECG中，由勾股定理，得：（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k，∴点G不一定是边CD的中点．