Question

【题目】探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠C的数量关系．

发现：在如图中，：∠APC=∠A+∠C；如图

小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB

∴∠APQ=∠A(_ __)

∵PQ∥AB,AB∥CD.

∴PQ∥CD(__ _)

∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

(1)为小明的证明填上推理的依据；

(2)应用：①在如图中，∠P与∠A、∠C的数量关系为__ _；

②在如图中,若∠A=30 ，∠C=70 ，则∠P的度数为__ _；

(3)拓展：在如图中，探究∠P与∠A,∠C的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）∠APC+∠A+∠C＝360；40°；（3）

【解析】

（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C，即可得出答案；
（2）①过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ+∠A=180°，∠CPQ+∠C=180°，即可得出答案；
②根据平行线的性质得出∠PEB=∠C=70°，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出∠APG+∠A=180°，求出∠APG=180°-∠A，根据PG∥CD得出∠CPG+∠C=180°，即可得出答案．

（1）证明：过点P作PQ∥AB，

所以∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
故答案为两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
（2）①
解：过点P作PQ∥AB，

所以∠APQ+∠A=180°，
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ+∠C=180°，
∴∠APQ+∠CPQ+∠A+∠C=360°，
即∠APC+∠A+∠C=360°，
故答案为∠APC+∠A+∠C=360°；
②
解：∵AB∥CD，∠C=70°，
∴∠PEB=∠C=70°，
∵∠A=30°，
∴∠P=∠PEB-∠A=40°，
故答案为40°；
（3）解：
∠APC=∠A-∠C．
理由是：如图4，过点P作PG∥AB，

∵PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°-∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°-∠C，
∴∠APC=∠CPG-∠APG=∠A-∠C．