Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）当y的值大于0时，求x的取值范围；

（3）分别求出△BCM与△ABC的面积．

Answer 1

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】计算题．

【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线解析式，再配成顶点式得到M点坐标；

（2）观察函数图象，写出抛物线在x轴上方部分所对应的自变量的范围即可；

（3）根据三角形面积公式计算△ABC的面积，利用S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD﹣S_△BOC计算△BCM的面积．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

∵抛物线过点（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），

∴a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），即y=x²﹣2x﹣3，

∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴顶点M（1，﹣4）；

（2）x＜﹣1或x＞3；

（3）如图，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD﹣S_△BOC=×（3+4）×1+×2×4﹣×3×3=3

S_△ABC=×4×3=6．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系数法求抛物线解析式和三角形面积公式．