Question

半径为1的O₁与半径为3的O₂外切于P点，如图所示，AB是两圆的外公切线，切点分别为点A、B，求AB和

PA

，

PB

所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：如图，作辅助线；首先求出O₁O₂的长度，进而求出∠CO₂O₁度数、∠O₂O₁A度数，分别求出梯形、两个扇形的面积问题即可解决．

解答：解：如图，连接O₁A，O₂B，O₁O₂；
过点O₁作O₁C⊥O₂B，垂足为C；
∵AB是两圆的外公切线，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
故四边形ABCO₁是矩形，
∴BC=O₁A=1，O₂C=3-1=2；
∵⊙O₁与⊙O₂外切于P点，
∴O₁O₂=1+3=4，
∴

O1C

O1O2

=

2

4

=

1

2

，
∴∠O₂O₁C=30°，∠CO₂O₁=60°，∠O₂O₁A=120°；
∵cos30°=

O1C

O1O2

=

3

2

，
∴O1C=

3

2

×4=2

3

；
∴S梯形ABO2O1=

1

2

(1+3)×2

3

=4

3

；
又∵S扇形O2BP=

60π×32

360

=

3π

2

，
S扇形O1AP=

120π×12

360

=

π

3

，
∴S阴影=4

3

-

3π

2

-

π

3

=4

3

-

11π

6

．

点评：该题主要考查了相切两圆的性质、梯形的性质、扇形的面积公式及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．