Question

如图，MN为一段河流，A、B两村庄在以MN为直径的圆上，两村准备合资在河边P修一泵站（点P为动点）向两村输水．小明得到如下数据：⊙O的半径为2千米，A是半圆上的一个三等分点，B是

AN

的中点，每千米水管为5000元，则两村购买水管的钱至少是多少元？

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．

解答：解：作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC，连接CE，OE，
又∵B是

AN

的中点，
∴

AB

=

BN

=

NE

=

1

2

AN

，
又∵A是半圆的三等份点，
∴∠AON=60°，∠NOE=

1

2

∠AON=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又∵AC为圆的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=

2

2

AC=2

2

（千米），
即AP+BP的最小值是2

2

千米．
∵2

2

×5000=10000

2

（元）；
∴两村购买水管的钱至少是10000

2

元．

点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，此题的难点是确定点P的位置：找点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AE于MN的交点P就是所求作的位置．再根据弧的度数和圆心角的度数求出∠CAE，根据勾股定理求出AE即可．