Question

【题目】如图，、是两个全等的等腰直角三角形，．

若将的顶点放在上（如图），、分别与、相交于点、．求证：；

若使的顶点与顶点重合（如图），、与相交于点、．试问与还相似吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）与相似．理由见解析

【解析】

（1）如图1，先根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=∠DPE=45°，再利用平角定义得到∠BPG+∠CPF=135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG+∠BGP=135°，根据等量代换得∠BGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；

（2）如图2，由于∠B=∠C=∠DPE=45°，利用三角形外角性质得∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，而∠CPF=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是可判断△PBG∽△FCP．

证明：如图，

∵、是两个全等的等腰直角三角形，

∴，

∴，

在中，∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

解：与相似．理由如下：

如图，∵、是两个全等的等腰直角三角形，

∴，

∵，

，

∴，

∵，

∴．