Question

在四边形ABCD中，∠B=∠D=α．
（1）如图1，当α=90°，AE、CF分别评分∠DAB和∠BCD，交CD、AB于点E、F，求证：AE∥CF．
（2）如图2，当α≠90°，若（1）中“CF平分∠BCD”改成“CF平分四边形ABCD的一个外角∠DCG”，猜想并验证AE与CF的位置关系．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）根据内角和定理求出∠DAB+∠DCB=180°，求出∠DAE+∠DCF=90°，推出∠DEA=∠DCF，根据平行线的判定推出即可；
（2）延长AE交CF于N，角BG于M，根据三角形内角和定理求出∠CEM=∠CME，推出CE=CM，根据等腰三角形的性质得出即可．

解答：（1）证明：∵∠B=∠D=90°，
∴∠DAB+∠DCB=360°-90°-90°=180°，
∵AE、CF分别评分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAE=

1

2

∠DAB，∠DCF=

1

2

∠DCB，
∴∠DAE+∠DCF=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠DCF，
∴AE∥CF；

（2）解：AE⊥CF，
理由是：如图，延长AE交CF于N，角BG于M，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∵∠D=∠B，∠DAE+∠D+∠DEA=180°，∠BAE+∠B+∠BMA=180°，
∴∠DEA=∠BMA，
∵∠CEM=∠DEA，
∴∠BME=∠CEM，
∴CE=CM，
∵CF平分∠ECM，
∴CF⊥EM，
即AE⊥CF．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，多边形的内角和定理，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．