Question

在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，F为BC中点，BE平分∠ABC，已证△BDH≌△CDA，求证：BG²-GE²=AE²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△BEC≌△BEA，推出BC=AB，推出AE=CE，根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．

解答：证明：连接CG，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
∵在△BEC和△BEA中，

∠CBE=∠ABE BE=BE ∠BEC=∠BEA

∴△BEC≌△BEA（ASA），
∴BC=AB，
∵BE⊥AC，
∴AE=CE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴BD=CD，
∵F为BC中点，
∴DF⊥BC，
∴BG=CG，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG²-GE²=CE²，
即BG²-GE²=AE²．

点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．