Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．并选择一种证明．
（1）添加的条件为 ①

 

 ②

 

（2）证明：

Answer 1

考点：正方形的判定

专题：开放型

分析：（1）根据正方形的判定方法可添加条件；
（2）连结AD．先由等腰三角形三线合一的性质得出AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得出DE=DF．
如果添加的条件为 ①∠BAC=90°，首先根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形EDFA是矩形，又DE=DF，那么可证四边形EDFA是正方形；
如果添加的条件为②DF∥AB，先由平行线的性质及垂直的定义得出∠BAC=∠DFC=90°，再证明四边形EDFA是矩形，又DE=DF，那么可证四边形EDFA是正方形．

解答：解：（1）添加的条件为 ①∠BAC=90°，②DF∥AB．（方法很多，如∠B=45°或BC=

2

AB或DE⊥DF或F为AC中点或DE∥AC等）．

（2）连结AD．
∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∴DE=DF．
如果添加的条件为 ①∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形EDFA是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形EDFA是正方形；
如果添加的条件为②DF∥AB，
∵DF∥AB，DF⊥AC于F，
∴∠BAC=∠DFC=90°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴四边形EDFA是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形EDFA是正方形．
故答案为∠BAC=90°，DF∥AB．

点评：本题主要考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．