Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段AB交于点F，设CE=x．
（1）若要使△DEF为等腰三角形，求x的值；
（2）若点F是AB的中点，求x的值；
（3）我们知道配方法可以求代数式的值的最大值或最小值，若BF取最大值时，试求x的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由于EF⊥DE，△DEF为等腰三角形，故EF=ED，由全等三角形的判定定理得出△BEF≌△CDE，再由CD=6可得出CE的长，进而得出结论；
（2）先根据点F是AB的中点得出BF的长，再求出△BEF∽△CDE，由相似三角形的对应边成比例即可得出x的值；
（3）根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CDE，由相似三角形的对应边成比例得出BF与x的关系式，求出BF取最大值时，求出x的值即可．

解答：解：（1）∵EF⊥DE，△DEF为等腰三角形，
∴EF=ED．
∵∠BEF+∠DEC=90°，∠BEF+∠BFE=90°，∠DEC+∠CDE=90，
∴∠BEF=∠CDE，∠BFE=∠DEC．
在△BEF与△CDE中，
∵

∠BEF=∠CDE EF=DE ∠BFE=∠DEC

，
∴△BEF≌△CDE（ASA）．
∴BE=CD=6，
∴CE=BC-BE=9-6=3，即x=3；

（2）∵AB=6，点F是AB的中点，
∴BF=

1

2

AB=3．
∵∠BEF+∠DEC=90°，∠BEF+∠BFE=90°，∠DEC+∠CDE=90∴，
∴∠BEF=∠CDE，∠BFE=∠DEC．
∴△BEF∽△CDE，
∴

BE

CD

=

BF

CE

，即

9-x

6

=

3

x

，解得x=3或x=6；

（3）∵由（2）知，△BEF∽△CDE，
∴

BE

CD

=

BF

CE

，即

9-x

6

=

BF

x

，故BF=

x(9-x)

6

=-

1

6

x²+

3

2

x，
∴当BF最大时，x=-

3 2

2×(- 1 6 )

=

9

2

．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．