Question

等边△ABC边长为1，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，△DEF也是等边三角形．
（1）证明：△ADF≌△CFE≌△BED．
（2）设AD=x，△DEF的面积为y，写出y与x的函数关系式．
（3）当x取什么值时，△DEF的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由等边三角形的性质可知∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，所以可得出∠AFD=∠BDE，从而可证得△ADF≌△BED，同理可证得其它；
（2）AD=x，则AF=1-x，且∠A=60°，由三角形的面积公式可得y=

1

2

x（1-x）sin60°，且0＜x＜1；
（3）由（2）可知y是关于x的二次函数，利用二次函数的性质可求出其最小值及取最小值时的x的值．

解答：解：（1）∵△ABC，△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，
∴∠BAD+∠ADF=∠ADF+∠AFD=120°，
∴∠AFD=∠BDE，
在△ADF和△BED中，

∠A=∠B ∠AFD=∠BDE DF=DE

，
∴△ADF≌△BED（AAS），
同理可得：△ADF≌△CFE，
∴△ADF≌△CFE≌△BED；
（2）设AD=x，则AF=1-x，由题意可知0＜x＜1，
又∵∠A=60°，
∴y=

1

2

x（1-x）sin60°=-

3

4

x²+

3

4

x（0＜x＜1）；
（3）由（2）可知y是关于x的二次函数，且开口向下，
所以当x=-

3 4

2×(- 3 4 )

=

1

2

时，y有最小值，y_min=

3

16

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．