Question

如图，在直角坐标系中，平行四边形AOCD的边OC在x轴上，边AD与与y轴交与点H，点E、F分别是边AD和对角线OD上的动点（点E不与A、D重合），且∠OEF=∠A=∠DOC，CD=10，sin∠OCD=

4

5

．
（1）求点C、D的坐标；
（2）设AE=x，OF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）点E在边AD上移动的过程中，△OEF是否有可能成为一个等腰三角形？若有可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）因为四边形AOCD是平行四边形，根据题意求出sin∠OCD=sin∠OAH的值．然后根据勾股定理求出AH的值．又因为∠A=∠DOC，AD∥OC，可推出AH=HD，AD=OC．进而求出C，D的坐标；
（2）已知OA=OD，AE=x，OF=y，可求出FD，AE和DE的表达式之后推出△AEO∽△DFE根据线段的相似比求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围即；
（3）当点E在边AD上移动的过程中，△OEF可成为一个等腰三角形，根据题意要分为两种情况解答．当OF=EF，求得EO=ED，故可得出（x-6）²+64=（12-x）²求出x的值；当OE=EF时，即

AO

DE

=

OE

EF

=1，易求x的值．

解答：解：（1）∵四边形AOCD是平行四边形，
∴AO=DC=10，∠A=∠OCD，
∴sin∠OCD=sin∠OAH=

4

5

，
∴OH=OA•sin∠A=10×

4

5

=8，
∴AH=

OA2-OH2

=6，
又∵∠A=∠DOC，AD∥OC，
∴∠DOC=∠ADO，
∴∠A=∠ADO，OH⊥AD，
∴AH=HD=6，
∴AD=OC=12，
∴D（6，8）、C（12，O）；

（2）∵OA=OD=10，
∵OF=x，
∴FD=10-x，AE=t，DE=12-x，
又∵∠OEF=∠EDF，
∴∠AEO+∠FED=180°-∠OEF，∠DEF+∠EFD=180°-∠EDF，
∴∠AEO=∠EFD，∠A=∠EDF，
∴△AEO∽△DFE，
∴

AE

DF

=

AO

DE

，
∴

x

10-x

=

10

12-x

，
即100-10y=12x-x²，
∴y=

1

10

x²-

6

5

x+10（0＜x＜12）；

（3）当点E在边AD上移动的过程中，△OEF成为一个等腰三角形，
理由如下：
∵∠OFE＞∠FDE=∠OEF．
∴OF≠OE．
∴△OEF是等腰三角形，则只有①OF=EF②OE=EF
①当OF=EF时，
∴∠OEF=∠EOF=∠EDO，∴EO=ED．即（x-6）²+64=（12-x）²，x=

11

3

；
②当OE=EF时，
则

AO

DE

=

OE

EF

=1即OA=DE．12-x=10，x=2；
∴当x

11

3

=或x=2时△OEF是等腰三角形．

点评：本题考查了一次函数综合的知识，用到的知识点主要有勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质，本题是也是函数与几何图形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题，题目的难度较大．