Question

已知∠ACB=90°，AC=BC，直线L过点C，AE⊥L，BF⊥L，P为AB中点，求证：PF=PE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：连接CP，则AP=BP=CP，由∠ACB=90°，AE⊥L，BF⊥L，可得出∠ACE=∠CBF，从而可证得△ACE≌△CBF，所以有CE=BF，结合∠ACE=∠CBF，可得∠PCE=∠PBF，可证得△PCE≌△PBF，可得出结论．

解答：证明：连接CP，
∵∠ACB=90°，AE⊥L，BF⊥L，
∴∠ACE+∠FCB=∠CBF+∠FCB，
∴∠ACE=∠CBF，PC=PB=PA，
在△ACE和△CBF中，

∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠CFB=90° AC=BC

，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CE=BF，
∵∠ACP=∠CBP=45°，且∠ACP+∠PCE=∠CBP+∠PBF，
∴∠PCE=∠PBF，
在△PCE和△PBF中，

PC=PB ∠PCE=∠PBF CE=BF

，
∴△PCE≌△PBF（SAS），
∴PE=PF．

点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，寻找三角形全等的条件是证题的关键．