Question

【题目】如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE． 探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

Answer 1

【答案】
（1）解：DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC
（2）解：如图4，如图5．

（3）解：方法一：

如图6，

连接BE，

∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，

∴△PMA≌△EMB．

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，

∴PA∥BE．

∵平行四边形PADC，

∴PA∥DC，PA=DC．

∴BE∥DC，BE=DC，

∴四边形DEBC是平行四边形．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∴DE⊥AC．

方法二：

如图7，连接BE，PB，AE，

∵PM=ME，AM=MB，

∴四边形PAEB是平行四边形．

∴PA∥BE，PA=BE，

余下部分同方法一：

方法三：

如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，

∵平行四边形PADC，

∴AN=NC，PN=ND．

∵AM=BM，AN=NC，

∴MN∥BC，MN= BC．

又∵PN=ND，PM=ME，

∴MN∥DE，MN= DE．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

∴DE⊥AC．

（4）解：如图9，DE∥BC，DE=BC．

【解析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能正确解答此题．