Question

如图①所示△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；
（2）若△ABC中，∠B=α，∠C=β（α＞β），请你根据第一问的结果大胆猜想∠DAE与α、β间的等量关系，不必说明理由；
（3）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B=80°，∠C=30°，请你直接运用（2）中结论求出∠EFG的度数；
（4）在（3）的条件下，若F点在AE的延长线上，其他条件不变，则∠EFG的大小发生改变吗？请说明理由；
（5）如图③，在△ABC中，点F是三角形的三条角平分线的交点，∠ABC=60°，∠ACB=20°，且FG⊥BC于G，试求∠FEG的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD代入数据计算即可得解；
（2）把∠B、∠C的度数换成α、β解答即可；
（3）求出∠DAE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠EFG=∠DAE；
（4）两直线平行，内错角相等可得∠EFG=∠DAE；
（5）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠CAE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FEG=∠CAE+∠ACB代入数据计算即可得解．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（2）∠DAE=

1

2

（180°-α-β）-（90°-α）=

1

2

（α-β），
故，∠DAE=

1

2

（α-β）；

（3）∠DAE=

1

2

（80°-30°）=25°；

（4）如图，F点在AE的延长线上时，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥GF，
∴∠EFG=∠DAE=

1

2

（α-β），大小不发生变化；

（5）∵∠ABC=60°，∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°-60°-20°=100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×100°=50°，
∴∠FEG=∠CAE+∠ACB=50°+20°=70°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．