Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝______．

Answer 1

【答案】6或

【解析】

分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性质得出AB=CD，BC=AD=3AB=，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=，BD=，证明△PDF∽△BDA，得出，求出PF=，证出CE=2CD，由等腰三角形的性质得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出=2，求出NF=2PF=3，即可得出答案；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF=，MF=3，设MN=PN=x，则FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：分两种情况：

①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：

则∠PFM＝∠PFN＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，

∴AB＝CD=，BD=，

∵点P是AD的中点，

∴PDAD，

∵∠PDF＝∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

∴，即，

解得：PF，

∵CE＝2BE，

∴BC＝AD＝3BE，

∴BE＝CD，

∴CE＝2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，

∵∠PFN＝∠C＝90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴，

∴MF＝NF＝2PF＝3，

∴MN＝2NF＝6；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：

由①得：PF，MF＝3，

设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，

在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，

解得：x，即MN；

综上所述，MN的长为6或；

故答案为：6或．