Question

16．如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E，F分别是对角线BD，AC的中点，求证：$\frac{1}{2}$（AB+CD）＞EF．

Answer 1

分析 设BC中点为G，连接EG、FG． 由中位线的性质得EG=$\frac{1}{2}$DC，FG=$\frac{1}{2}$AB，再根据三角形的三边关系可得EF＜EG+FG，再利用等量代换可得EF＜$\frac{1}{2}$（AB+CD）．

解答 证明：设BC中点为G，连接EG、FG．
∵点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$DC，FG=$\frac{1}{2}$AB，
∵在△EFG中，EF＜EG+FG，
∴EF＜$\frac{1}{2}$（AB+CD），
即$\frac{1}{2}$（AB+CD）＞EF．

点评 此题主要考查了三角形中位线的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．