Question

如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求面积S_△ABC．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：先由△ABC是顶角为36°的等腰三角形，得出AB：AC=

5 -1

2

，则AB=

5 -1

2

，再作出底边上的高CD，根据等腰三角形三线合一的性质求出AD=

1

2

AB=

5 -1

4

，根据勾股定理求出CD，然后利用三角形的面积公式即可求解．

解答：解：∵在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，
∴AB：AC=

5 -1

2

，
∴AB=

5 -1

2

．
作等腰△ABC底边上的高CD，则AD=

1

2

AB=

5 -1

4

，
在△ACD中，根据勾股定理得
CD=

AC2-AD2

=

10+2 5

4

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×

5 -1

2

×

10+2 5

4

=

10-2 5

8

．

点评：本题考查了黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：

5 -1

2

；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：

5 -1

2

．同时考查了等腰三角形的性质与勾股定理．