Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝DB，点E、F、G分别是AO、BO、DC的中点，连接EF、DE、EG、GF．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）求证：EG＝EF．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用三角形中位线定理及中点定义即可得到EF＝DG，EF∥DG，即可解决问题；

（2）利用平行四边形的性质可知OD＝DB，∵AD＝DB，进而得到OD=AD，∵E是AO中点，利用等腰三角形性质，可知DE⊥AO，进而证得△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证得EG＝CD＝DG，即可解决问题.

（1）证明：∵点E、F、G分别是AO、BO、DC的中点，

∴EF是△OAB的中位线，DG＝CD，

∴EF∥AB，EF＝AB，DG＝CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，OD＝OB＝DB，

∴EF＝DG，EF∥DG，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）证明：由（1）得：EF＝DG，

∵AD＝DB，OD＝DB，

∴AD＝OD，

∵点E是AO的中点，

∴DE⊥OA，

∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，

∵点G是DC的中点，

∴EG＝CD＝DG，

∴EG＝EF．