Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，延长AD交BC于点E．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求证：DE平分∠CDB；
（3）若CD=DM，EM=FM，CE=8，求线段FB的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证AD=BD，即可证明△ACD≌△BCD，即可解题；
（2）由（1）结论和∠ACB=90°，可得∠ACD=∠BCD=45°，即可求得∠BDC=∠ADC=120°，可得∠CDE=60°，即可解题；
（3）易证△CDE≌△MDE，可得CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，即可求得∠MEF=30°，即可求得MF=BF，即可解题．

解答：证明：（1）∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，

AC=BC ∠CAD=∠CBD AD=BD

，
∴△ACD≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCD，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠BDC=∠ADC=120°，
∴∠CDE=60°，
∴DE平分∠CDB；
（3）∵在△CDE和△MDE中，

CD=DM ∠CDE=∠MDE=60° DE=DE

，
∴△CDE≌△MDE（SAS），
∴CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，
∴∠MEF=30°，
∵EM=FM，
∴∠MFE=30°，
∵∠CBD=15°，
∴∠FMB=15°，
∴MF=BF，
∴BF=MF=EM=CE=8．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCD和△CDE≌△MDE是解题的关键．