【题目】如图,正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=FM.
(2)当AE=2时,求EF的长.
【答案】
(1)证明:∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,
∴F、C、M三点共线,
∴DE=DM,∠EDM=90°,
∴∠EDF+∠FDM=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠FDM=∠EDF=45°,
在△DEF和△DMF中,
,
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF;
(2)解:设EF=MF=x,
∵AE=CM=2,且BC=6,
∴BM=BC+CM=6+2=8,
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x,
∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4,
在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,
即42+(8﹣x)2=x2,
解得:x=5,
则EF=5.
【解析】(1)由旋转可得DE=DM,∠EDM为直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°,得到∠MDF为45°,可得出∠EDF=∠MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF;(2)由第一问的全等得到AE=CM=2,正方形的边长为6,用AB﹣AE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=8﹣x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为EF的长.
【考点精析】通过灵活运用正方形的性质和旋转的性质,掌握正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了即可以解答此题.
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【题目】如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置,此时AC的中点恰好与D点重合,AB′交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为( )
A.3
B.1.5
C.
D.
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【题目】5支篮球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛),任两支球队之间胜率都是 .单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.有下列四个命题:p1:恰有四支球队并列第一名为不可能事件;p2:有可能出现恰有两支球队并列第一名;p3:每支球队都既有胜又有败的概率为 ;p4:五支球队成绩并列第一名的概率为 .其中真命题是( )
A.p1 , p2 , p3
B.p1 , p2 , p4
C.p1 , p3 , p4
D.p2 , p3 , p4
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【题目】为丰富人民群众业余生活,某市拟建设一座江滨公园,通过专家评审筛选出建设方案A和B向社会公开征集意见.有关部门用简单随机抽样方法调查了500名市民对这两种方案的看法,结果用条形图表示如下:
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关?
选择方案A | 选择方案B | 总计 | |
老年人 | |||
非老年人 | |||
总计 | 500 |
附:
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,能否提出一个更好的调查方法,使得调查结果更具代表性,说明理由.
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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【题目】如图,一条抛物线y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)的一部分,记为C1 , 它与x轴交于O,A1两点,将C1绕点A1旋转180°得到C2 , 交x轴于点A2 , ;将C2绕点A2旋转180°得到C3 , 交x轴于A3;…如此进行下去,直至得到C6 , 若点P(2017,y)在抛物线Cn上,则y= .
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【题目】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC,截面如图所示,一楼和二楼地面平行(即AB所在的直线与CD平行),层高AD为8米,∠ACD=20°,为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头,A、B之间必须达到一定的距离. (参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
(1)要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头,那么A,B之间的距离至少要多少米?(精确到0.1米)
(2)如果自动扶梯改为由AE,EF,FC三段组成(如图中虚线所示),中间段EF为平台(即EF∥DC),AE段和FC段的坡度i=1:2,求平台EF的长度.(精确到0.1米)
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【题目】如图,已知△ABC,将△ABC绕点A顺时针旋转,使点C落在边AB上的点E处,点B落在点D处,连接BD,如果∠DAC=∠DBA,那么 的值是 .
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,设 = , = .
(1)求向量 (用向量 , 的式子表示).
(2)在图中作出向量 在向量 , 方向上的分向量(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量).
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【题目】如图,A在O的正北方向,B在O的正东方向,且OA=OB.某一时刻,甲车从A出发,以60km/h的速度朝正东方向行驶,与此同时,乙车从B出发,以40km/h的速度朝正北方向行驶.1小时后,位于点O处的观察员发现甲、乙两车之间的夹角为45°,即∠COD=45°,此时,甲、乙两人相距的距离为( )
A.90km
B.50 km
C.20 km
D.100km
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