Question

【题目】（情境）某课外兴趣小组在一次折纸活动课中．折叠一张带有条格的长方形的纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格线所在的直线的交点，用平滑的曲线顺次连结各交点，得到一条曲线．

图1 图2 图3

（探索）（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，将矩形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB边放在y轴的正半轴上，AB=m，AD=n，（m≤n）．将纸片折叠，使点B落在边AD上的点E处，过点E作EQ⊥BC于点Q，折痕MN所在直线与直线EQ相交于点P，连结OP．求证：四边形OMEP是菱形；

（归纳）（2）设点P坐标是（x，y），求y与x的函数关系式（用含m的代数式表示）．

（运用）（3）将矩形纸片ABCD如图3放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在点K，使得△KCF的面积是△KOC面积的？若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）y= （3）点K（2+2，）

【解析】(1)、如果四边形的四边相等，那么这个四边形是菱形；(2)、根据P点的坐标，可表示出E点的坐标，从而可知道OP的长，用勾股定理表示出解析式；(3)、首先画出图形，作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．设K（x，y），根据面积的关系得出y=，将点K的坐标代入二次函数解析式，从而得出x的值，得出点K的坐标．

(1)、证明：如图3，由题意知：OM=ME，∠OMN=∠EMN， ∵OM∥EP，∴∠OMN=∠MPE．

∴∠EMN=∠MPE． ∴ME=EP．∴OM=EP． ∴四边形OMEP是平行四边形．

又∵ME=EP，∴四边形OMEP是菱形；

(2)、解：∵四边形OMEP是菱形， ∴OP=PE，∴OP2=PE2， ∵EQ=OA=m，PQ=y，

∴PE=m﹣y．∴PE2=（m﹣y）2=m2﹣2my+y2．

∵OP2=x2+y2，PE2=m2﹣2my+y2， ∴x2+y2=m2﹣2my+y2． ∴y=；

(3)、解：如图3，假设折叠曲线上存在点K满足条件．

当m=8时，y=﹣x2+4． 作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．设K（x，y），

则KG=12﹣x，KH=y． 当x=12时，y=﹣5． ∴F（12，﹣5）， ∴CF=5．

∴S△KCF=CF×KG=×5×（12﹣x）， S△KOC=CO×KH=×12y， ∵S△KCF= S△KOC，

∴0.5×5·（12-x）=××12·y ∴y=． ∴K（x，）．

∵点K在y=﹣x2+4上， ∴=﹣x2+4． 化简得：x2﹣4x﹣16=0，

解得：x1=2+2，x2=2﹣2（舍去）， 当x1=2+2时，y=，

∴存在点K（2+2，）．