Question

【题目】函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y＝2x+1，y＝，y＝2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；

（2）若y＝的值不大于2，求符合条件的x的范围；

（3）若y＝，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；

（4）y＝2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）对于y＝2x+1，当x＝2时，y最小＝5；对于y＝，当x＝2时，y最大＝1；当x＝4时，y最小＝；对于y＝2（x﹣1）2+1，当x=2时，y最小＝3，当x＝4时，y最大＝19；（2）x＜0或x≥1；（3）；（4）1或3.

【解析】

（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x-1）2+1的最大值和最小值；

（2）令y=≤2，解之即可得出x的取值范围；

（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y=无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最小值，无最大值，于是得到结论；

（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．

解：（1）∵y＝2x+1中k＝2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x＝2时，y最小＝5；当x＝4时，y最大＝9．

∵y＝中k＝2＞0，

∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，

∴当x＝2时，y最大＝1；当x＝4时，y最小＝．

∵y＝2（x﹣1）2+1中a＝2＞0，且抛物线的对称轴为x＝1，

∴当x＝1时，y最小＝1；但是2≤x≤4，所以当x=2时，y最小＝3，当x＝4时，y最大＝19．

（2）令y＝≤2，

解得：x＜0或x≥1．

∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1．

（3）①当k＞0时，如图，

当0＜x≤2时，y＝无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最大值，无最小值，

②当k＜0时，如图，

当0＜x≤2时，y＝无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y＝既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；

（4）①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2＝1，

解得：m1＝1，m2＝（舍去）；

②当2≤m≤4时，有m﹣2＝1，

解得：m3＝3；

③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2＝1，

整理得：2m2﹣15m+29＝0．

∵△＝（﹣15）2﹣4×2×29＝﹣7，无解．

∴m的值为1或3．

①当k＞0时，如图，

当0＜x≤2时，y＝无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最大值，无最小值，

②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y＝无最小值，有最大值，

同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤有最小值，无最大值，

∴当k＜0，a＜0时，此时，y＝既无最大值，又无最小值，

综上所述，a的取值范围是a＜0；