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【题目】如图,一次函数的图像分别交y轴、x轴交于点AB,点P从点B出发,沿射线BA以每秒1个单位的速度出发,设点P的运动时间为t.

1)点P在运动过程中,若某一时刻,OPA的面积为6,求此时P的坐标;

2)在整个运动过程中,当t为何值时,AOP为等腰三角形?(只需写出t的值,无需解答过程)

【答案】1)(2,4.5),(-27.5);(22.8,4,5,16

【解析】试题分析:(1)先求出△OPA的面积为6时BP的长,再求出点P的坐标;(2)分别讨论AO=AP,AP=OP和AO=OP三种情况.

(1)在y=-x+6令x=0得y=6,令y=0得x=8,

∴A(0,6),B(8,0),

∴OA=6,OB=8,∴AB=10,

∴AB边上的高为6×8÷10=

∵P点的运动时间为t,∴BP=t,则AP=

当△AOP面积为6时,则有AP×=6,即×=6,解得t=7.512.5

过P作PE⊥x轴,PF⊥y轴,垂足分别为E、F,

PE==4.57.5BE==6或10,

则点P坐标为(8-6,4.5)(8-10,7.5),即(2,4.5)(-2,7.5);

(2)由题意可知BP=t,AP=

当△AOP为等腰三角形时,有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况.
①当AP=AO时,则有=6解得t=4或16;

②当AP=OP时,过P作PM⊥AO,垂足为M,如图1,

则M为AO中点,故P为AB中点,此时t=5;

图1 图2

③当AO=OP时,过O作ON⊥AB,垂足为N,过P作PH⊥OB,垂足为H,如图2,

则AN=AP=10-t),
PHAO∴△AOB∽△PHB

=,即=,PH=t

又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°,

∴∠AON=PBHANO=PHB
∴△ANO∽△PHB
=,即=解得t=

综上可知当t的值为4、5和16时,△AOP为等腰三角形.

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束】
25

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