Question

【题目】麻城市思源实验学校自从开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益量y的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．

（1）求老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式；

（2）求学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式；

（3）问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最大？

Answer 1

【答案】（1）老师精讲时的学生学习收益量y与用于精讲的时间x之间的函数关系式为y=2x；

（2）学生当堂检测的学习收益量y与用于当堂检测的时间x的函数关系式为；

（3）老师在课堂用于精讲的时间为33分钟，学生当堂检测的时间为7分钟时，学习收益总量最大．

【解析】（1）由图设该函数解析式为y=kx，即可依题意求出y与x 的函数关系式.

（2）本题涉及分段函数的知识，需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可.

（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0≤≤15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40-x）分钟，用配方法的知识解答该题即可.

解：（1）设y=kx，把（１，２）代入，得k=2．∴y=2x．

自变量x的取值范围是：０≤x≤４0．

（2）当0≤x≤８时，设y=a（x-８）2+６４，

y=

把（0，0）代入，得６４a+６４=0，a=-1．

∴y=-（x-８）2+６４=-x2+1６x．

当８=x=15时，y=６４

（3）设学生当堂检测的时间为x分钟（0=x=15），学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为（40-x）分钟．

当0=x=8时，w=-x2+16x+2（40-x）=-x2+14x+80=-（x-7）2+129．

∴当x=7时,W 最大=129．

当8=x=15时，W=64+2（40-x）=-2x+144．

∵W随x的增大而减小， ∴当x=8时，W最大=128

综合所述，当x=7时，W最大=129，此时40-x=33．

即老师在课堂用于精讲的时间为33分钟，学生当堂检测的时间为7分钟时，学习收益总量最大．

“点睛”本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键.