Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE交于点G，连接CE、DF交于点H．

（1）求证：四边形EGFH为平行四边形；

（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形EGFH为矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当BC=2AB时，平行四边形EGFH是矩形．理由见解析．

【解析】

（1）可分别证明四边形AFCE是平行四边形，四边形BFDE是平行四边形，从而得出GF∥EH，GE∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形；

（2）证出四边形ABFE是菱形，得出AF⊥BE，即∠EGF=90°，即可得出结论．

（1）连接EF，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC．

∵点E、F分别是AD、BC的中点，

∴AE=EDAD，BF=FCBC，

∴AE//FC，AE=FC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴GF//EH．

同理可证：ED//BF且ED=BF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴GE//FH，

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）当BC=2AB时，平行四边形EGFH是矩形．理由如下：

由（1）同理可证四边形ABFE是平行四边形，

当BC=2AB时，AB=BF，

∴四边形ABFE是菱形，

∴AF⊥BE，即∠EGF=90°，

∴平行四边形EGFH是矩形．