【题目】如图,已知、两点的坐标分别为,,直线与反比例函数的图象相交于点和点.
(1)求直线与反比例函数的解析式;
(2)求的度数;
(3)将绕点顺时针方向旋转角(为锐角),得到,当为多少度时,并求此时线段的长度.
【答案】(1)直线AB的解析式为,反比例函数的解析式为;(2)∠ACO=30°;(3)当为60°时,OC'⊥AB,AB'=4.
【解析】
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),将A与B坐标代入求出k与b的值,确定出直线AB的解析式,将D坐标代入直线AB解析式中求出n的值,确定出D的坐标,将D坐标代入反比例解析式中求出m的值,即可确定出反比例解析式;
(2)联立两函数解析式求出C坐标,过C作CH垂直于x轴,在直角三角形OCH中,由OH与HC的长求出tan∠COH的值,利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数,在三角形AOB中,由OA与OB的长求出tan∠ABO的值,进而求出∠ABO的度数,由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度数;
(3)过点B1作B′G⊥x轴于点G,先求得∠OCB=30°,进而求得α=∠COC′=60°,根据旋转的性质,得出∠BOB′=α=60°,解直角三角形求得B′的坐标,然后根据勾股定理即可求得AB′的长.
解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(0,4),B(-4,0)代入得:
解得
,
故直线AB解析式为y=x+4,
将D(2,n)代入直线AB解析式得:n=2+4=6,
则D(2,6),
将D坐标代入中,得:m=12,
则反比例解析式为;
(2)联立两函数解析式得:
解得解得:
或,
则C坐标为(-6,-2),
过点C作CH⊥x轴于点H,
在Rt△OHC中,CH=,OH=3,
∵tan∠COH=,
∴∠COH=30°,
∵tan∠ABO=,
∴∠ABO=60°,
∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°;
(3)过点B′作B′G⊥x轴于点G,
∵OC′⊥AB,∠ACO=30°,
∴∠COC′=60°,
∴α=60°.
∴∠BOB′=60°,
∴∠OB′G=30°,
∵OB′=OB=4,
∴OG=OB′=2,B′G=2,
∴B′(-2,2),
∴AB′==4.
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【题目】小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB=74米,为测量这座居民楼与大厦之间的水平距离CD的长度,小明从自己家的窗户C处测得∠DCA=37°,∠DCB=48°(DC平行于地面).求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度.
(参考数据:sin37°,tan37°,sin48°,tan48°)
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,点E为边AB上一动点,连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF,连结DF,以CE、CF为邻边作矩形CFGE,GE与AD、AC分别交于点H、M,GF交CD延长线于点N.
(1)证明:点A、D、F在同一条直线上;
(2)随着点E的移动,线段DH是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由;
(3)连结EF、MN,当MN∥EF时,求AE的长.
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【题目】如图,扇形ABC的圆心角为90°,半径为6,将扇形ABC绕A点逆时针旋转得到扇形ADE,点B、C的对应点分别为点D、E,若点D刚好落在上,则阴影部分的面积为_____.
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【题目】如图,直线与反比例函数的图象相交于、两点,过、两点分别作轴的垂线,垂足分别为点、,连接、,则四边形的面积为( )
A.4B.8C.12D.24
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【题目】如图1,在纸片中, ,学习小组进行如下操作:、如图2,沿折叠使点落在延长线上的点处,点是.上一点,如图3,将图2展平后,再沿折叠使点落在点处,点分别在边和上,将图3展平得到图4,连接,请在图4中解决下列问题:
(1)判断四边形的形状, 并证明你的结论;
(2)若,求四边形的周长.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,连接AF、BE交于点G,连接CE、DF交于点H.
(1)求证:四边形EGFH为平行四边形;
(2)当AB与BC满足什么条件时,四边形EGFH为矩形?并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC’,连接A'C,则A'C的长为( )
A. 6B. 4+2C. 4+3D. 2+3
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【题目】周末,小强在文化广场放风筝.如图,小强为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为58°,已知风筝线BC的长为10米,小强的身高AB为1.55米.请你帮小强画出测量示意图,并计算出风筝离地面的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)
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