Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N．

（1）证明：点A、D、F在同一条直线上；

（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）连结EF、MN，当MN∥EF时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）有最小值，DH的最小值为；（3）AE= 2．

【解析】

（1）要证明点A、D、F在同一条直线上，只需证明∠CDF+∠CDA=180°即可.根据题中的已知条件很容易证明△DCF≌△BCE，则∠CDF=∠B=90°，结论可证.

（2）设AE=x，DH=y，通过已知条件证明△ECB∽△HEA，利用相似三角形的性质可知，即可得到一个y与x的二次函数，根据二次函数的最值可求出线段DH的最小值.

（3）利用矩形的性质及平行线的性质可证明△CFN≌△CEM，进而推出∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°. 在BC上取一点K，使得KC=KE，则△BKE是等腰直角三角形，设BE=BK=a，则KC=KE=a，利用求出a的值，从而利用即可求AE的长.

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，

∵CE=CF，∠ECF=90°，

∴∠ECF=∠DCB，

∴∠DCF=∠BCE，

∴△DCF≌△BCE，

∴∠CDF=∠B=90°，

∴∠CDF+∠CDA=180°，

∴点A、D、F在同一条直线上．

（2）解：有最小值．

理由：设AE=x，DH=y，则AH=1-y，BE=1-x，

∵四边形CFGE是矩形，

∴∠CEG=90°，

∴∠CEB+∠AEH=90°

CEB+∠ECB=90°，

∴∠ECB=∠AEH，

∵∠B=∠EAH=90°，

∴△ECB∽△HEA，

即

∵a=1＞0，

∴当时，y有最小值，最小值为，

∴DH的最小值为．

（3）解：∵四边形CFGE是矩形，CF=CE，

∴四边形CFGE是正方形，

∴GF=GE，∠GFE=∠GEF=45°，

∵NM∥EF，

∴∠GNM=∠GFE，∠GMN=∠GEF，

∴∠GMN=∠GNM，

∴GN=GM，

∴FN=EM，

∵CF=CE，∠CFN=∠CEM，

∴△CFN≌△CEM，

∴∠FCN=∠ECM，

∵∠MCN=45°，

∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，

在BC上取一点K，使得KC=KE

∴△BKE是等腰直角三角形

设BE=BK=a，则KC=KE=a，