Question

18．如图，AD=BC，AE，FC都垂直于BD，垂足为E，F，BE=DF，求证：OA=OC．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定定理AAS证得△AEO≌△CFO；然后由全等三角形的对应边相等即可证得结论．

解答 证明：∵BE=DF，
∴BF=DE，
又∵AE，FC都垂直于BD．
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE和Rt△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CFB（HL），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）．
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{∠AEO=∠CFO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OA=OC（全等三角形的对应边相等）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．解答此类题目，需要利用三角形全等来解决有关边相等的证明．