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【题目】如图,二次函数 y=ax2﹣2ax+c(a>0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,它的顶点为 P,直线 CP 与过点B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D,且 CP:PD=1:2,tan∠PDB=

(1) A、B 两点的坐标分别为 A( ); B( );

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)在抛物线的对称轴上找一点M 使|MC﹣MB|的值最大,则点M 的坐标为

【答案】(1)﹣1,0;3,0;(2)y=x2x﹣;(3)(1,﹣

【解析】

(1)先求得抛物线的对称轴为x=1,然后利用平行线分线段成比例定理求得OE:EB的值,从而得到点B的坐标,利用抛物线的对称性可求得点A的坐标;

(2)过点CCFPE,垂足为F.先求得点C和点P的坐标(用含字母的式子表示),然后可得到PF=a,然后利用锐角三角函数的定义可求得a的值,然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得c的值;

(3)根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M在同一直线上时|MC-MB|最大,设直线AC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法求出一次函数解析式,再根据点M在对称轴上代入计算即可得解.

(1)如图所示:

∵由题意可知:抛物线的对称轴为x=1,

OE=1.

OCPEBD,CP:PD=1:2,

=

BE=2.

OB=3.

B(3,0).

∵点A与点B关于PE对称,

∴点A的坐标为(﹣1,0).

故答案是:﹣1,0;3,0;

(2)过点CCFPE,垂足为F.

x=0代入得:y=c,

∴点C的坐标为(0,c).

x=1代入得y=﹣a+c.

∴点P的坐标为(1,﹣a+c).

PF=a.

PEBDtanPDB=

tanCPF=tanPDB=

解得a=

a=代入抛物线的解析式得:y=x2x+c.

将点A的坐标代入得: ++c=0,解得:c=﹣

∴抛物线的解析式为y=x2x﹣

(3)由三角形的三边关系,|MC﹣MB|<AC,

∴当点A、C、M在同一直线上时|MC﹣MB|最大,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

解得

y=﹣x﹣

∵抛物线对称轴为直线x=1,

∴当x=1时,y=﹣×1﹣=﹣

∴点M的坐标为(1,﹣).

故答案是:(1,﹣ ).

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