Question

6．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上任一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）小明通过尝试发现如图丁：如果AB≠AC，∠BAC≠90°，只要∠ACB=45°，CF与BD的位置关系就不变（点C、F重合除外），你同意他的说法吗？并请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

解答 解：（1）①CF⊥BD，CF=BD；
故答案为：垂直、相等．

②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD；

（2）同意，理由如下：
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G，
则∵∠ACB=45°，
∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°，
∵AG=AC，AD=AF，
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，
∴∠GAD=∠FAC，
在△GAD和△CAF中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠GAD=∠FAC}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠AGD=45°，
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°，
∴CF⊥BC．

点评 本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．