Question

【题目】如图，中，，为上一点，经过点，与相交于点E，与交于点，连接.

(I).如图，若，，求的长.

(II)如图，平分，交于点，经过点.

①求证：为的切线；

②若，，求的长.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)AF=4；(Ⅱ)①证明见解析；②AF=5.

【解析】

（Ⅰ）由AF为⊙O的直径可得∠AEF=90°，根据三角形内角和可求出∠BAC=60°，即可求出∠AFE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AF的长即可；(Ⅱ)①连接OD，根据角平分线的定义可得，由等腰三角形的性质可得，即可证明OD//AC，根据平行线的性质即可得结论；②设OD与EF交于点H，可证明四边形CDHE是矩形，可得EH=CD=2，根据垂径定理可求出EF的长，利用勾股定理求出AF的长即可.

（Ⅰ）∵AF为⊙O的直径，

.

∵，，

，

，

AF=2AE=4.

（Ⅱ）①连接OD.

∵DA平分，

，

∵OA=OD，

，

，

，

∵∠C=90°，

，

即，

BC为⊙O的切线.

②设OD与EF交于点H，

∵，

四边形CDHE为矩形.

EH=CD=2，.

.

EF=2EH=4.

.