Question

【题目】阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，中，，点在上，，（其中），的平分线与相交于点，垂足为，探究线段与的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现与相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段与的数量关系．”

……

老师：“保留原题条件，延长图1中的，与相交于点（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：；

（2）探究线段与的数量关系（用含的代数式表示），并证明；

（3）直接写出的值（用含的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用三角形的外角性质可求解；

（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF=FC，AF=BF，通过证明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解；

（3）通过证明△ABH∽△ACB，可得AB2=AC×AH，设BD=m，AB=km，由勾股定理可求AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．

证明：（1）∵

∴

∵,

∴

（2）设，

∴

∵，

∴

∵平分

∴

∴，

∴

∴

∵，

∴∽

∴

∵，

∴∽

∴，且，

∴，即

∴

（3）∵，

∴，且

∴∽

∴

∴

设，

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴