【题目】如图1,在△ABC中,BA=BC,点D,E分别在边BC、AC上,连接DE,且DE=DC.
(1)问题发现:若∠ACB=∠ECD=45°,则 .
(2)拓展探究,若∠ACB=∠ECD=30°,将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度(0°<α<180°),图2是旋转过程中的某一位置,在此过程中的大小有无变化?如果不变,请求出的值,如果变化,请说明理由.
(3)问题解决:若∠ACB=∠ECD=β(0°<β<90°),将△EDC旋转到如图3所示的位置时,则的值为 .(用含β的式子表示)
【答案】(1);(2)此过程中的大小有变化,(3)2cosβ
【解析】
1)如图1,过E作EF⊥AB于F,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°,于是得到∠B=∠EDC=90°,推出四边形EFBD是矩形,得到EF=BD,推出△AEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;
(3)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,根据相似三角形的性质得到,即,根据角的和差得到∠ACE=∠BCD,求得△ACE∽△BCD,证得,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,根据相似三角形的性质即可得到结论.
解:(1)如图1,过E作EF⊥AB于F,
∵BA=BC,DE=DC,∠ACB=∠ECD=45°,
∴∠A=∠C=∠DEC=45°,
∴∠B=∠EDC=90°,
∴四边形EFBD是矩形,
∴EF=BD,
∴EF∥BC,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴,
故填:,
(2)此过程中的大小有变化,
由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,
∴△ABC∽△EDC,
∴,即,
又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE∽△BCD,
∴,
在△ABC中,如图2,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,
在Rt△BCF中,,
∴AC=BC.
∴;
(3)由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,且∠ACB=∠ECD=β,
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,
∴△ABC∽△EDC,
∴,即,
又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE∽△BCD,
∴,
在△ABC中,如图3,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,
在Rt△BCF中,CF=BCcosβ,
∴AC=2BCcosβ.
∴=2cosβ,
故答案为2cosβ.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在DC的延长线上取一点E,连接OE交BC于点F.已知AB=4,BC=6,CE=2,则CF的长等于( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
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【题目】坐标为整数的点叫格点,如图,已知A(-3,0)、B(-3,4)和原点都是格点,在如图6×9的网格中使用无刻度的直尺按要求作图.
(1)找格点C,连BC,使BC与OA的交点就是OA的中点,画出图形直接写出C点坐标.
(2)按以下方法可以作出∠AOB的平分线.
第一步:找格点D,使OD=OB;
第二步:找格点E,使DE⊥OB交AB于F;
第三步:连OF,则OF是∠AOB的平分线;
请你按步骤完成作图,并写出D、E三点的坐标.
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【题目】今年是中华人民共和国建国70周年,襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动.学校3000名学生全部参加了竞赛,结果所有学生成绩都不低于60分(满分100分).为了了解成绩分布情况,学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计,得到如下不完整的统计表.根据表中所给信息,解答下列问题:
成绩(分)分组 | 频数 | 频率 |
15 | 0.30 | |
0.40 | ||
10 | ||
5 | 0.10 |
(1)表中 , ;
(2)这组数据的中位数落在 范围内;
(3)判断:这组数据的众数一定落在范围内,这个说法 (填“正确”或“错误”);
(4)这组数据用扇形统计图表示,成绩在范围内的扇形圆心角的大小为 ;
(5)若成绩不小于80分为优秀,则全校大约有 名学生获得优秀成绩.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,点A(0,-2),B(-1,0),C(-5,0),点D从点B出发,沿x轴负方向运动到点C,E为AD上方一点,若在运动过程中始终保持△AED~△AOB,则点E运动的路径长为_______________
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【题目】如图,抛物线与x轴相交于两点,与轴相交于点,点在抛物线上,且.与轴相交于点,过点的直线平行于轴,与拋物线相交于两点,则线段的长为_____.
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【题目】阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,中,,点在上,,(其中),的平分线与相交于点,垂足为,探究线段与的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现与相等.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段与的数量关系.”
……
老师:“保留原题条件,延长图1中的,与相交于点(如图2),可以求出的值.”
(1)求证:;
(2)探究线段与的数量关系(用含的代数式表示),并证明;
(3)直接写出的值(用含的代数式表示).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的边在轴上,,以为顶点的抛物线经过点,交y轴于点,动点在对称轴上.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点从点出发,沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止,设运动时间为秒,过点作交于点,过点平行于轴的直线交抛物线于点,连接,当为何值时,的面积最大?最大值是多少?
(3)若点是平面内的任意一点,在轴上方是否存在点,使得以点为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】2018年高一新生开始,某省全面启动高考综合改革,实行“3+1+2”的高考选考方案.“3”是指语文、数学、外语三科必考;“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考,“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
(1)“1+2”的选考方案共有多少种?请直接写出所有可能的选法;(选法与顺序无关,例如:“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法)
(2)高一学生小明和小杰将参加新高考,他们酷爱历史和生物,两人约定必选历史和生物.他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考,若这三科被选中的机会均等,请用列表或画树状图的方法,求出他们恰好都选中政治的概率.
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