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【题目】如图1,在ABC中,BA=BC,点DE分别在边BCAC上,连接DE,且DE=DC

1)问题发现:若∠ACB=ECD=45°,则

2)拓展探究,若∠ACB=ECD=30°,将EDC绕点C按逆时针方向旋转α度(α180°),图2是旋转过程中的某一位置,在此过程中的大小有无变化?如果不变,请求出的值,如果变化,请说明理由.

3)问题解决:若∠ACB=ECD=ββ90°),将EDC旋转到如图3所示的位置时,则的值为 .(用含β的式子表示)

【答案】(1);(2)此过程中的大小有变化,32cosβ

【解析】

1)如图1,过EEFABF,根据等腰三角形的性质得到∠A=C=DEC=45°,于是得到∠B=EDC=90°,推出四边形EFBD是矩形,得到EF=BD,推出AEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到结论;

2)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=CAB=ECD=CED=30°,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;

3)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=CAB=ECD=CED=β,根据相似三角形的性质得到,即,根据角的和差得到∠ACE=BCD,求得ACE∽△BCD,证得,过点BBFAC于点F,则AC=2CF,根据相似三角形的性质即可得到结论.

解:(1)如图1,过EEFABF

BA=BCDE=DC,∠ACB=ECD=45°

∴∠A=C=DEC=45°

∴∠B=EDC=90°

∴四边形EFBD是矩形,

EF=BD

EFBC

∴△AEF是等腰直角三角形,

故填:

2)此过程中的大小有变化,

由题意知,ABCEDC都是等腰三角形,

∴∠ACB=CAB=ECD=CED=30°

∴△ABC∽△EDC

,即

又∠ECD+ECB=ACB+ECB

∴∠ACE=BCD

∴△ACE∽△BCD

ABC中,如图2,过点BBFAC于点F,则AC=2CF

RtBCF中,

AC=BC

3)由题意知,ABCEDC都是等腰三角形,且∠ACB=ECD=β

∴∠ACB=CAB=ECD=CED=β

∴△ABC∽△EDC

,即

又∠ECD+ECB=ACB+ECB

∴∠ACE=BCD

∴△ACE∽△BCD

ABC中,如图3,过点BBFAC于点F,则AC=2CF

RtBCF中,CF=BCcosβ

AC=2BCcosβ

=2cosβ

故答案为2cosβ

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第一步:找格点D,使OD=OB

第二步:找格点E,使DEOBABF

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成绩(分)分组

频数

频率

15

0.30

0.40

10

5

0.10

1)表中      

2)这组数据的中位数落在   范围内;

3)判断:这组数据的众数一定落在范围内,这个说法   (填正确错误);

4)这组数据用扇形统计图表示,成绩在范围内的扇形圆心角的大小为   

5)若成绩不小于80分为优秀,则全校大约有   名学生获得优秀成绩.

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数学课上,老师出示了这样一道题:如图1中,,点上,(其中的平分线与相交于点垂足为,探究线段的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:

小明:通过观察和度量,发现相等.

小伟:通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段的数量关系.

……

老师:保留原题条件,延长图1中的,与相交于点(如图2),可以求出的值.

1)求证:

2)探究线段的数量关系(用含的代数式表示),并证明;

3)直接写出的值(用含的代数式表示).

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