Question

【题目】如图，已知□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF.过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N.

(1)求证：AM=GE

(2)若DG=a、CF=b,求AB的长.

(3)若,且DG=，直接写出CE的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB =a+b；（3）

【解析】

(1)AE是∠BAD的角平分线 ,则∠BAE=∠DAE,四边形ABCD是平行四边形,则AB∥CD ,∠BAD=∠C,求得∠ADN=∠CDF,由AB∥CD知∠BAE=∠DEA,所以∠DAE=∠DEA,所以AD=DE.根据ASA证明△ADM≌△EDG,所以AM=EG.

(2) 过点A作HA⊥AD交DN的延长线于H,证明△DHA≌△DCF(ASA) , CF=AH=b DH=DC=AB.通过∠AMH=∠HAM,知HM=AH=CF=b .通过前面的全等知DM=DG =a,求得HD的长度.故知AB的长度.

(3) AB∥DC知对应线段成比例,由此可知==,易得DN=, DA=DE 即AD=3AN, 在Rt△AND中，根据勾股定理可知, 由△ADN∽△CDF可知对应边成比例,可求得DC的长度,继而求得CE的长度.

(1)证明：∵AE是∠BAD的平分线

∴ ∠BAE=∠DAE

∵DN⊥DC 、DF⊥BC

∴ ∠NDA=90° ∠DFC=90°

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD ∠BAD=∠C

∴∠DAE=∠DEA ∠ADN=∠EDG

∴ DA=DE

∴ △ADM≌△EDG(ASA)

∴AM=EG

(2)如图，过点A作HA⊥AD交DN的延长线于H.

∴∠HAD=∠DFC=90°

∵∠ADH=∠FDC AD=DF

∴ △DHA≌△DCF(ASA)

∴CF=AH=b DH=DC=AB

易证 ∠AMH=∠HAM

∴HM=AH=CF=b

∵△ADM≌△EDG(已证)

∴DM=DG =a

∴AB=DC=DM+MH =a+b

(3) CE =DC-DE= -2.

理由如下:

在□ABCD中，AB∥DC

∴==,

∵ = ∴==,

∵DG=DM= ∴MN=, 即

∵ DA=DE 即AD=3AN,

∴在Rt△ADN中，

易证：△ADN∽△CDF

∴

即 =

∴

∴CE =DC-DE=