Question

【题目】如图，是⊙的直径，弦于点，点是⊙上一点，且，连接，，交于点．

（1）若，，求⊙的半径；

（2）求证：为等腰三角形；

（3）连接并延长，交的延长线于点，过点作⊙的切线，交的延长线于点．求证：．

Answer 1

【答案】（1）⊙的半径为5；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）连接BC，AC，AD，通过证明△ACE∽△CEB，可得，可求BE的长，即可求⊙O的半径；
（2）通过证明△ADE≌△NDE，可得∠DAN=∠DNA，即可证BN=BF，可得△BNF为等腰三角形；
（3）通过证明△ODE∽△ODM，可得DO2=OEOM，通过证明△PCO∽△CEO，可得CO2=POON，即可得结论．

解：（1）如图1，连接，

∵，是直径

∴，

∴，且

∴∽

∴

∴

∴

∴

∴⊙的半径为5

（2）∵

∴，且，

∴≌（）

∴，

∵，

∴

∴，

∴是等腰三角形

（3）如图2，连接，

∵是切线，

∴，

∴，

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴，

∵

∴

∵

∴

∵四边形是圆内接四边形

∴

∴，且

∴∽

∴

∴，

∴．