Question

【题目】如图，在中，直径经过弦的中点，点在上，的延长线交于于点，交过的直线于，，连接与交于点.

（1）求证:是的切线；

（2）若点是的中点，的半径为3，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BDO=90°，即可得出答案；

（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠C，再利用相似三角形的判定方法得出即可；根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出ED，AD，BD的长，即可得出CD，利用相似三角形的性质得出NB的长即可．

（1）证明：∵直径经过弦的中点，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴是的切线.

（2）解：连接.

∵是直径，

∴，

∴，

即，

∴，

∵，

∴；

∵的半径为3，即，

在中，，

设OE=x，ED=x，

由勾股定理得；OE2+ED2=OD2

解得：，

由此可得：，

由勾股定理可得：

，

，

，

∵是直径，，

∴由垂径定理得：，

∵，

∴，

∵点是的中点，，

∴，

∴.