Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A（﹣1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得： ，解得：b=3，c=4．

所以 抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：如图1所示：

∵令x=0得y=4，

∴OC=4．

∴OC=OB．

∵∠CFP=∠COB=90°，

∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．

设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）（a＞0）．

则CF=a，PF=|﹣a2+3a+4﹣4|=|a2﹣3a|．

∴|a2﹣3a|=a．

解得：a=2，a=4．

∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．

（3）

解：如图2所示：连接EC．

设点P的坐标为（a，﹣a2+3a+4）．则OE=a，PE=﹣a2+3a+4，EB=4﹣a．

∵S四边形PCEB= OBPE= ×4（﹣a2+3a+4），S△CEB= EBOC= ×4×（4﹣a），

∴S△PBC=S四边形PCEB﹣S△CEB=2（﹣a2+3a+4）﹣2（4﹣a）=﹣2a2+8a．

∵二次项系数是﹣2＜0，

∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．

∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．

【解析】（1）二次函数的解析式中有两个未知数，根据两个点的坐标列方程组可解得两个未知数；
（2）由B（4,0），C（0,4）可得△OBC是等腰直角三角形，则△CPF也是等腰直角三角形，因为∠CFP=90度，则CF=PF，则根据它可列方程求得；
（3）设出点P的坐标（a，﹣a2+3a+4），用a表示出△PBC的面积，根据二次函数的最值问题求出最大值.