Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0，
（1）当k为何值时，方程有实数根；
（2）设x1 ， x2是方程的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使方程有实数根，必须△≥0

即4（k﹣1）2﹣4k2≥0

解得k≤ ，∴当k≤ 时，方程有实数根．

（2）解：由韦达定理得，x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=4（k﹣1）2﹣2k2

=2k2﹣8k+4，

∵x12+x22=4，

∴2k2﹣8k+4=4

解得k1=0，k2=4，

由（1）知k≤ ，∴k=4不合题意，

∴k=0．

【解析】（1）根据△≥0，确定k的取值范围；（2）把x12+x22=4转化成（x1+x2）2﹣2x1x2=4，再把x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2代入，得到关于k的方程，即可求得k的值．
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．