Question

【题目】已知中，，为线段上一点（不与重合），点为射线上一点，，设，．

（1）如图1，①若，，则__________，___________．

②若，，则__________，___________．

③写出与的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①10°，5°；②16°，8°；③α=2β，理由见解析；（2）2β=180°+α，理由见解析

【解析】

（1）①直接求α度数，根据三角形的内角和与等腰三角形的性质求∠ACB和∠AED的度数再根据外角定理求β；②解法同①；③设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，求出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，从而可得结论；

（2）设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°，同理得出出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，从而可得结论.

解：（1）①∵∠DAE=40°

∴∠ADE+∠AED=140°

∴∠ADE=∠AED=70°

∵∠BAC=50°

∴

∴

∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β

∴65°+10°=70°+∠β

∴∠β=5°

故答案为10°，5°；

②∵∠DAE=42°

∴∠ADE+∠AED=138°

∴∠ADE=∠AED=69°

∵∠BAC=58°

∴

∴

∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β

∴61°+16°=69°+∠β

∴∠β=8°

故答案为16°，8°；

③α=2β，理由是：

如图（1），设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，

∵∠ACB=∠ABC

∴

∵∠ADE=∠AED

∴

∴

∴α=2β

（2）如图（2），2β=180°+α，理由是：

设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°

∵∠ACB=∠ABC

∴

∵∠ADE=∠AED

∴

∵∠EDB是△EDC的一个外角

∴∠EDB=∠AED+∠ACB

∴

∴2β=x°+y°，即2β=180°+α