Question

已知等腰直角△ABC与等腰直角△ADE，F是EC中点，问：DF与BF的关系？并证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：易证∠DEF=∠NCF，即可证明△FDE≌△FMC，可得DF=MF，DE=MC，即可求得AD=MC，易证∠DAB=∠MCB，即可证明△BCM≌△BAD，可得BM=BD，∠ABD=∠CBM，根据∠ABD+∠DBC=90°即可求得∠DBM=90°，可证明△DBM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形底边三线合一性质即可解题．

解答：证明：过点C作CM∥ED，与DF的延长线交于点M，连接BD，BM，

∵CM∥ED，
∴∠DEF=∠NCF，
在△FDE和△FMC中，

∠DEF=∠NCF EF=CF ∠DFE=∠MFC

，
∴△FDE≌△FMC﹙ASA﹚，
∴DF=MF，DE=MC，
∴F是DM中点，
∵AD=DE，
∴AD=ED=MC，
∵DE∥CM，BC⊥AB，
∴∠DAB=∠MCB，
∵在△BCM和△BAD中，

AB=BC ∠DAB=∠MCB AD=CM

，
∴△BCM≌△BAD（SAS），
∴BM=BD，∠ABD=∠CBM，
∵∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠CBM=90°，即∠DBM=90°，
∴△DBM是等腰直角三角形，
∵F是DM的中点，
∴△BFD是等腰直角三角形；
∴DF=BF，DF⊥BF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△FDE≌△FMC和△BCM≌△BAD是解题的关键．