Question

15．2015年元旦前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元/件）	…	20	30	40	50	60	…
每天销售量y（件）	…	500	400	300	200	100	…

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若用w（元）表示工艺厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w（元）与x（元）之间的函数关系式．
（3）若该工艺品的每天的总成本不能超过2500元，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销工艺品每天获得的利润最大，最大是多少元？

Answer 1

分析 （1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）根据题意即可得到结论；
（3）由（2）的解析式建立不等式，求出其解即可．

解答 解：（1）画图如右图：
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），
这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{500=20k+b}\\{400=30k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=700}\end{array}\right.$，
∴函数关系式是y=-10x+700；

（2）由题意得：w=（x-10）（-10x+700）=-10x²+800x-7000；

（3）由题意得：10（-10x+700）≤2500，解得：x≥45，
w=-10x²+800x-7000，a=-10＜0，开口向下．
-$\frac{b}{2a}$=40，当x＞40时，w随x的增大而减小，
所以当x=45时，w最大，最大值为-10×45²+800×45-7000=8750．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由利润率问题的数量关系求二次函数的解析式的运用，一元二次不等式的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．