Question

11．如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.14，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）要求桥DC与直线AB的距离，只要作CH⊥AB于点H，求出CH的长度即可，由BC和∠B可以求得CH的长，本题得以解决；
（2）要求现在从A地到达B地可比原来少走多少路程，只要求出AD与BC的和比AB-EF的长度多多少即可，由于DC=EF，有题意可以求得各段线段的长度，从而可以解答本题．

解答 解：（1）作CH⊥AB于点H，如下图所示，

∵BC=12km，∠B=30°，
∴$CH=\frac{1}{2}BC=6$km，BH=$6\sqrt{3}$km，
即桥DC与直线AB的距离是6.0km；
（2）作DM⊥AB于点M，如下图所示，

∵桥DC和AB平行，CH=6km，
∴DM=CH=6km，
∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，
∴AD=$\frac{DM}{sin45°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=6\sqrt{2}$km，AM=DM=6km，
∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）-（AM+MH+BH）=AD+DC+BC-AM-MH-BH=AD+BC-AM-BH=$6\sqrt{2}+12-6-6\sqrt{3}$=6$+6\sqrt{2}-6\sqrt{3}$≈4.1km，
即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．

点评 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，作出合适的图形，利用数形结合的思想解答问题，注意ME=DC=EF．