【题目】如图,在四边形中,平分,,是的中点,,过作于,并延长至点,使.
(1)求证:;
(2)若,求证:四边形是菱形.
【答案】(1)见详解;(2)见详解
【解析】
(1)欲证明AC2=CDBC,只需推知△ACD∽△BCA即可;
(2)利用“在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等,则四边形AKEC是菱形.
证明:(1)∵AC平分∠BCD,
∴∠DCA=∠ACB.
又∵AC⊥AB,AD⊥AE,
∴∠DAC+∠CAE=90°,∠CAE+∠EAB=90°,
∴∠DAC=∠EAB.
又∵E是BC的中点,
∴AE=BE,
∴∠EAB=∠ABC,
∴∠DAC=∠ABC,
∴△ACD∽△BCA,
∴,
∴AC2=CDBC;
(2)证明:∵EF⊥AB,AC⊥AB,
∴EF∥AC,
又∵∠B=30°,
∴AC=BC=EB=EC.
又EF=EB,
∴EF=AC,
即AF=FE=EC=CA,
∴四边形AFEC是菱形.
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的、两点,与、轴分别交于、两点,过点作轴于点,连接,且的面积为3,作点关于轴对称点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)连接、,求的面积.
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【题目】如图,等腰Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,点D在AC上,将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后,得到△CBE.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若AB=4,CD=3AD,求DE的长.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径圆弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且△ADO为等边三角形,过点A作AE⊥BD于点E.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若BD=10,求AE的长.
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【题目】某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利80元.为了扩大销售、尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天就能多售出2件.请解答下列问题:
(1)当每件衬衫降价30元时,求商场每天销售该衬衫所获得的总利润.
(2)当该衬衫每件降价多少元时,商场销售该衬衫每天所获得的利润为1680元.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是,连接交于点O,并分别与边交于点,连接AE,下列结论: ; ; ; 当时, ,其中正确结论的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】为了让同学们了解自己的体育水平,八年级1班的体育老师对全班50名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数).成绩满分为10分,1班的体育委员根据这次测试成绩制作了如下的统计图:
(1)根据统计图所给的信息填写下表:
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
男生 | 8 | ||
女生 | 8 | 8 |
(2)若女生队测试成绩的方差为1.76,请计算男生队测试成绩的方差.并说明在这次体育测试中,哪个队的测试成绩更整齐些?
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【题目】 某校为了了解学生的安全意识,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查.根据调查结果,把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次,并绘制成如下两幅尚不完整的统计图,如图所示:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次调查一共抽取了______名学生,将条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中,“较强”层次所占圆心角的大小为______°;
(3)若该校有3200名学生,现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育,根据调查结果,请你估计全校需要强化安全教育的学生人数.
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